[leetcode] 62. 不同路径

文章目录

题目描述
解题方法
- 方法一：动态规划
- - java代码
  - 复杂度分析
- 方法二：排列组合
- - java代码
  - 复杂度分析
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题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

在这里插入图片描述

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10⁹

解题方法

方法一：动态规划

我们设 $f (i, j)$ 为机器人从左上角走到 $(i, j)$ 的路径数量，若机器人在 $(i, j)$ 处，则机器人上一步的位置在 $(i - 1, j)$ 或者 $(i, j - 1)$ 处，由此可推出

当 $i > 0$ 且 $j > 0$ 时， $f (i, j) = f (i - 1, j) + f (i, j - 1)$
当 $i = 0$ 或 $j = 0$ 时， $f (i, j) = 1$

根据以上规律可完成代码实现。

java代码

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[][] dp = new int[m][n];

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[0][i] = 1;
    }

    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1];
}

复杂度分析

时间复杂度： $O (M * N)$ ，需要遍历一次dp数组。
空间复杂度： $O (M * N)$ ，需要提供dp数组的存储空间。

方法二：排列组合

从左上角到右下角，需要 m - 1 次向下移动，n - 1 次向右移动，一共需要进行 m + n - 2 次移动。满足排列组合的规律，则总的路径条数为

$C^{m - 1}_{m + n - 2}=\frac{(m + n - 2) * (m + n - 1) *...*(n - 1)}{(m-1)!}$

我们只需要编程实现计算排列组合总数。

java代码

public int uniquePaths(int m, int n) {
    // 取m和n之中的较小值，减少计算排列组合的次数。
    int small = Math.min(m, n) - 1;
    // 类型取double防止相乘的最终结果超出类型范围
    double a = 1;
    double b = 1;
    int total = m + n - 2;
    for (int i = 0; i < small; i++) {
        a = a * (total - i);
        b = b * (i + 1);
    }
    return (int) (a / b);
}